Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Okay, hallo, guten Morgen.

Wir haben gerade so ein kleines Zwischenkapitel, in dem wir uns überlegen, wie das, was wir über die klassische statistische Physik ganz am Anfang gesagt haben, zusammenhängt mit der quantenstatistischen Physik, die wir jetzt die ganze Zeit behandelt haben.

Also ganz am Anfang hatten wir solche Sachen gesagt wie die Wahrscheinlichkeitsdichte als Funktion von Out und Impuls ein Teilchen zu finden, geht wie e hoch minus beta mal die Hamilton-Funktion von x und p.

Und dann später in der Quantenmechanik haben wir gesagt, die Wahrscheinlichkeit das System in einem gewissen Energieeigenzustand zu finden, geht wie e hoch minus beta mal Energieeigenwert.

Und das ist jetzt nicht von vornherein offensichtlich, wie das eine mit dem anderen genau zusammenhängt, weil auch schon die Formulierung ist völlig unterschiedlich.

Hier unten reden wir erstmal nicht von x und p. Und das hat natürlich auch einen guten Grund, weil in der Quantenmechanik die heißenbergische Unschärferelation gilt, das heißt delta x mal delta p größer gleich h quer halbe.

Wenn ich die Ortsunschärfe kleiner mache, wird die Impulsunschärfe größer und umgekehrt. Das heißt es ist in der Quantenmechanik eigentlich erstmal nicht möglich von x und p gleichzeitig zu reden.

Trotzdem, wir hätten gerne einen Phasenraum. Hinmalen können wir ihn erstmal.

Und die typische Trajektorie von einem Klassensystem im Phasenraum würde irgendwie so aussehen, wenn der Impuls positiv ist, also nach oben, dann bewege ich mich nach rechts und irgendwann kommt ein Umkehrpunkt, wenn ich in einem Potential hin und her oszilliere.

Und dann sieht es vielleicht so aus. Also das wäre jetzt beispielsweise für den harmonischen Oszillator.

Unsere Idee, die ich das letzte Mal schon angedeutet hatte, war eine Basis zu wählen im Hilbertraum, die eben nicht die Energieeigenbasis ist, aber ganz nützlich für unsere Zwecke, nämlich so, dass sie uns irgendwie auf den Phasenraum zurückführt.

Und die Idee war, eine Basis zu wählen aus Wellenpaketen, die einen relativ scharf definierten Ort und auch gleichzeitig einen relativ scharf definierten Impuls haben. Nicht beliebig scharf definiert, weil das ist ja verboten, aber immerhin.

Und da schlage ich gleich eine Basis vor. Also viel von x soll eine Wellenfunktion sein, eine von dieser Basis.

Basis heißt immer, ich habe viele mögliche Wellenfunktionen, die muss ich irgendwie durchnummerieren, also einen Index geben. Und in unserem Fall gibt es nicht nur einen Index, sondern sogar zwei.

Das eine wäre nämlich die mittlere Position des Wellenpakets und das andere wäre der mittlere Impuls.

Und später sage ich dann, dass beide diskrete Werte annehmen und welche Werte erlaubt sind. Aber das sind zunächst mal die Parameter.

Und die Idee ist jetzt relativ einfach. Die Idee ist zu sagen, wenn ich eine ebene Welle hätte, die würde ich ja so hinschreiben, e hoch i, p durch h quer mal x.

Jetzt möchte ich aus gewissen Gründen hier sogar x minus x quer hinschreiben. Für eine ebene Welle wäre das kein großer Unterschied, wäre nur eine Phasenverschiebung.

Aber wir werden gleich mehr machen. Wir nehmen nämlich jetzt nicht nur diese ebene Welle, sondern wir nehmen viele von diesen ebenden Wellen für leicht unterschiedliche p's.

Und zwar die p's sollen alle zentriert sein um dieses mittlere p, aber es gibt einen gewissen Spielraum, sozusagen ein Delta p.

Und wie mache ich das? Ich addiere einfach all die ebenden Wellen auf oder genauer gesprochen, ich will sogar einen kontinuierlichen Impuls betrachten.

Ich integriere über p und zwar von p quer minus Delta p halbe bis p quer plus Delta p halbe.

Das heißt es ist gerade ein Intervall von der Breite Delta p um p quer. All diese ebenden Wellen addiere ich auf, sodass wir uns schon mal sicher sind, dass die resultierende Wellenfunktion einen mittleren Impuls p quer hat.

Mit einer Unschärfe, die irgendwie durch Delta p gegeben ist. Okay, das ist also unser Ansatz für so ein Wellenpaket.

Das ist nun ein Integral, das Sie auch ausrechnen können, ich habe es hier schon mal gemacht. Was rauskommt ist Sinus Delta p durch 2h quer mal x minus x quer dividiert durch x minus x quer und dann noch eine e-Funktion mit p quer.

Das ist ein Beispiel für ein Wellenpaket, woran sehe ich, dass das ein Wellenpaket ist?

Nun für große Abstände x, die weit von dem mittleren Ort x quer entfernt sind, klingt die Funktion ja ab. Also ist es wirklich um x quer zentriert.

Es hat auch einen mittleren Impuls p quer, das sieht man hier an diesem Faktor, der dabei steht oder man schaut eben auf die Impulsverteilung, die letztlich oben angedeutet ist.

Die Impulsverteilung im p Raum ist nämlich einfach eine Stufenfunktion, zentriert um p quer und mit der Breite Delta p.

Wir können auch einfach die Funktion plotten, dann sehen wir schon, dass es ein schönes Wellenpaket ist. Weil es eine komplexe Funktion ist, kann ich nicht viel selber plotten, aber ich kann den Betragsquadrat anzeichnen.

Was ich dann sehe ist, ja es ist um x quer zentriert und das sieht irgendwie so aus.

Wenn Sie das korrekt malen wollen, dann müssen Sie darauf achten, dass der Abstand dieser Nullstellen, auf die das Quadrat von dem Sinus dann runtergeht, hier überall nur halb so groß ist wie der Abstand der Nullstellen im Zentrum der Funktion.

Das liegt daran, dass wir eigentlich eine Funktion von der Gestalt Sinus x durch x haben und Sie wissen, das ist eine spezielle Funktion. Wenn ich da x gegen Null gehen lasse, dann geht es sowohl zähler als auch nennner gegen Null und insgesamt geht es gegen 1.

Also x gleich Null ist speziell. Was wir hier haben ist wirklich eine Sinus x durch x Funktion, wenn man draufschaut.

Okay, aber das ist nicht so wichtig. Wichtig ist nur, wir haben offenbaren Wellenpaket, das ist zentriert um x quer.

Und warum ist es nun gut? Meine Behauptung ist, das wird zu einer Ortogonalbasis und man kann es natürlich auch normieren, vorausgesetzt, ich bin geschickt in der Wahl der erlaubten Werte von p quer.

Und zwar, was ich machen will ist folgendes. Wenn ich mir hier die Impulsverteilung anschaue, wo ich eine Stufenfunktion habe, dann soll der nächste Wert von p quer, den ich erlaube, sagen wir p quer Strich, soll gerade um Delta p verschoben sein, denn dann überlappen die beiden Impulsverteilungen nicht.

Und in dem Fall bin ich mir sicher, dass die Funktionen orthogonal sind, weil die im Impulsraum offensichtlich orthogonal sind. Sie haben keinen Impuls, wo beide ungleich Null sind.

Also wenn ich das Skalarprodukt bilde aus zwei Funktionen, die an keinem Ort gleichzeitig ungleich Null sind, dann kommt eben Null raus.

Also hierdurch wird schon mal Ortogonalität garantiert, wenn ich ein anderes p quer wähle. Und das heißt, die erlaubten Werte von p quer sind wirklich von der Gestalt Delta p mal eine ganze Zahl und die nenne ich jetzt eben np, wenn ich Lust habe.

Also es gibt so ein Raster im p-Raum, sodass die Impulsverteilungen nicht überlappen.

Allerdings muss ich mir auch überlegen, was ist denn mit x quer, mit dem Mittelwert des Ortes, denn ich möchte ja auch erlauben, dass ich vielleicht den mittleren Impuls gleich lasse, aber mein Wellenpaket an verschiedenen Orten sich befindet.

Und dann wird es ein bisschen gefährlicher, weil die Impulsverteilung streng genommen überlappt dann und ich muss dann aber dafür sorgen, durch die Wahl sozusagen dieses extraphasen Faktors, der sich hier ergibt, dass trotzdem das Skalarprodukt Null ist.

Das ist ja erlaubt. Ich kann ja zwei Wellenfunktionen haben, wo das Betragsquadrat der einen so ähnlich aussieht wie das Betragsquadrat der anderen. Die haben sozusagen Überlapp im Impulsraum in dem Fall, aber das Skalarprodukt ist trotzdem Null.

Ich meine, denken Sie an die harmonischen Oszillator-Eigenfunktionen. Die erste ist eine Gauss-Funktion, die zweite ist so eine Gauss-Funktion multipliziert mit x, die so einen Schlenker macht und eine Nullstelle hat.

Und wenn ich nur das Betragsquadrat mir anschauen würde, dann würde ich nicht sehen, dass die autogonal zueinander sind.

Trotzdem, wenn ich das Skalarprodukt ausrechne, also integral von einer mal anderen Funktion, dann kommt Null raus einfach, weil die eine Funktion ist antisymmetrisch und die andere Funktion ist symmetrisch und das Produkt ist auch antisymmetrisch und ich integriere darüber und es kommt halt Null raus.

Das heißt, wenn wir das x-Quadrat passend wählen, behaupte ich, kommt tatsächlich Autogonalität zustande und das x-Quadrat darf man auch auf einem Raster wählen, delta x mal irgendein nx, was eine ganze Zahl ist.

Nur die Rasterweite, das delta x, kann jetzt nicht mehr beliebig gewählt werden, sondern es ergibt sich, delta x muss sein a2pi mal h-Quadrat durch delta p.